Открытие относительно цен на хлопок. Сбежавший от Бурбаки. Помехи при трансляции сигнала и извилистая береговая линия. Новые размерности. Монстры фрактальной геометрии. Подземные толчки в земной коре. От облаков к кровеносным сосудам. “Мусорная корзина” науки. “Увидеть мир в песчинке”.

Бенуа Мандельброт довольно долго создавал свою мысленную картину мира^[140]. В 1960 году она представляла собой лишь смутный, расплывчатый образ, слабый намек на законченную идею. Однако, увидев ее на доске в офисе Хендрика Хаутаккера, Мандельброт сразу узнал то, что вынашивал годами.

Сотрудник исследовательского отдела корпорации IBM, в математике он был мастером на все руки. В числе прочего Мандельброт немного занимался экономикой – изучал распределение крупных и малых доходов. Хаутаккер, профессор экономики в Гарварде, пригласил его выступить с докладом. Прибыв в Литтауэровский центр, величественное здание факультета экономики, расположенного на северной стороне Гарвардского двора, молодой математик обнаружил плоды своих изысканий на грифельной доске, где их запечатлел пожилой профессор^[141]. «Как здесь оказалась моя диаграмма? – изумился Мандельброт, пряча досаду. – Ведь я еще не выступал». Профессор, однако, не мог взять в толк, о чем говорит гость. Диаграмма не имела ничего общего с распределением доходов – она отражала изменение цен на хлопок за последние восемь лет.

Впрочем, и сам Хаутаккер усматривал нечто странное в своем графике. Экономисты всегда считали, что цены на товар, подобный хлопку, меняются в двух различных ритмах – упорядоченном и случайном. В долгосрочной перспективе их уровень определяется реальными событиями в экономике – подъемами и спадами в легкой промышленности Новой Англии, открытием новых международных торговых путей. Краткосрочные колебания носят в той или иной степени случайный характер. К сожалению, данные Хаутаккера противоречили его ожиданиям: наблюдалось слишком много больших скачков. Конечно, в большинстве своем ценовые изменения были незначительными, однако отношение количества маленьких скачков к количеству больших было не настолько велико, как того ожидал профессор. Значит, вероятность получить скачок не убывала достаточно быстро с увеличением его размера – их распределение имело, как говорят, «длинный хвост».

Стандартной моделью таких отклонений всегда являлась колоколообразная кривая: в центре, вблизи ее максимума, значения измеряемой величины близки к среднему, а слева и справа от среднего доля точек быстро падает. Эта колоколообразная кривая, называемая функцией Гаусса или функцией нормального распределения, в среде статистиков столь же ходовой инструмент, как стетоскоп – у врачей. Она проясняет природу случайности. Дело в том, что при изменении параметров любых объектов измеряемые значения с большей вероятностью находятся недалеко от средней величины и распределяются вокруг нее в соответствии с некоторым плавным законом. Функция Гаусса – весьма полезный инструмент, но даже она не всегда помогает проложить дорогу в дебрях экономики. Как выразился лауреат Нобелевской премии Василий Леонтьев, «ни в одной из эмпирических сфер исследования столь объемный и сложный статистический аппарат не используется со столь неопределенными результатами»^[142].

Колоколообразная кривая.

Но построенный Хаутаккером график изменений цен на хлопок никак не желал принимать форму функции нормального распределения. Вместо этого кривая ценовых изменений приобретала очертания, которые Мандельброт начал распознавать в графиках удивительно далеких, не сопоставимых друг с другом явлений. В отличие от других математиков, при столкновении с требующими ответа вопросами он прислушивался к своей интуиции относительно моделей и форм. Не полагаясь на анализ, он верил образам, что зрели в его сознании. В нем крепло убеждение, что течение случайных, стохастических процессов подчиняется особым законам. Вернувшись в огромный исследовательский центр корпорации IBM в Йорктаун-Хайтсе, на холмах Северного Уэстчестера, штат Нью-Йорк, Мандельброт внес информацию Хаутаккера о ценах на хлопок в компьютерную базу данных, а позже обратился в министерство сельского хозяйства с просьбой выслать дополнительные сведения, восходящие к 1900 году.

Переступив порог компьютерной эры, экономисты, как и ученые других областей, потихоньку осознавали, что теперь они могут собирать, обрабатывать и группировать данные в невиданных прежде масштабах. Далеко не вся информация, впрочем, была доступна, а уже полученную нужно было привести к виду, подходящему для компьютерной обработки. К тому же время компьютерных решений еще только-только наставало, так что исследователи, посвятившие себя точным наукам, предпочитали пока накапливать тысячи и миллионы экспериментальных точек. Экономисты, как и биологи, имели дело с миром живых существ, обладавших волей. Они изучали, наверное, самый труднопостижимый объект на всем белом свете.

Но, по крайней мере, экономическая среда исправно поставляла числовые данные. По мнению Мандельброта, цены на хлопок представляли собой идеальный массив данных. Хлопок принадлежал к миру купли-продажи, миру с централизованным рынком и единой бухгалтерией – ведь на рубеже веков весь хлопок с юга шел через Нью-Йоркскую товарную биржу в Новую Англию, и цены, скажем, в Ливерпуле увязывались с ценами в Нью-Йорке.

Хотя экономисты немногого добились в анализе товарных или биржевых цен, это отнюдь не означало, что им недоставало фундаментальных теорий ценообразования. Напротив, все ученые в этой области разделяли определенное видение этого вопроса. В частности, многие были убеждены, что небольшие случайные скачки цен не имеют ничего общего с долговременными ценовыми тенденциями. Быстрое изменение цены трактовали как случайность, взлеты и падения котировок в течение одного биржевого дня воспринимались как помехи, досадные, но непредсказуемые, а потому не заслуживающие внимания, а вот долгосрочные ценовые колебания – совсем другое дело. Они формируются месяцами, годами, десятилетиями под влиянием макроэкономических факторов, таких как войны или рецессии, – факторов, которые теоретически можно понять. Итак, с одной стороны – мельтешение кратковременных случайных отклонений, с другой – сигналы долгосрочных изменений.

Так получилось, что в картине мира Мандельброта не нашлось места дихотомии. Вместо того чтобы отделить небольшие изменения от ощутимых, его воображение свело их воедино. Ученый не отдавал предпочтения ни мелкому, ни крупному масштабу – его интересовала целостная картина. Он весьма отдаленно представлял, как передать на бумаге то, что рисовалось ему в мыслях, однако верил, что во всем происходящем должна присутствовать некая симметрия – не буквальная симметрия, когда левая часть похожа на правую или верхняя на нижнюю, а скорее симметрия крупных и мелких масштабов.

И действительно, когда Мандельброт на компьютере проанализировал информацию об изменении цен на хлопок, потрясающие результаты, на которые он надеялся, не заставили себя ждать. Точки, которые не желали ложиться на кривую нормального распределения, обнаруживали странную с точки зрения масштаба симметрию, иначе говоря, каждый отдельно взятый скачок цены был случайным и непредсказуемым, однако последовательность таких изменений не зависела от масштаба. Кривые, изображавшие дневные скачки, и те, что воспроизводили месячную динамику, прекрасно соответствовали друг другу. Это казалось невероятным, но, согласно результатам анализа, проведенного Мандельбротом, степень вариативности за неспокойные шестьдесят лет, на которые выпали две мировые войны и Великая депрессия, осталась неизменной.

Внутри самых хаотичных нагромождений информации скрывался поразительный порядок. Поразительный настолько, что Мандельброт задался вопросом: почему вообще они должны подчиняться хоть какому-то закону? И почему одна и та же закономерность оказывается одинаково справедлива и для распределения индивидуальных доходов, и для динамики цен на хлопок?

По правде говоря, Мандельброт не мог похвастаться солидной экономической базой, равно как и обширным кругом знакомств в среде экономистов. Когда он опубликовал статью о своих открытиях, преамбулу к ней написал один из его студентов, переложивший идеи учителя с языка математики на язык экономики. А сам Мандельброт уже занялся другой проблемой. Впрочем, он сохранил решимость изучать феномен масштабирования. Это явление, как полагал ученый, жило своей собственной жизнью и имело свои характерные особенности.

Спустя много лет («успев попреподавать экономику в Гарварде, инженерное дело в Йеле, физиологию в Медицинском колледже Эйнштейна») Мандельброт заметил с гордостью во время одного из своих выступлений перед студентами: «Часто, вспоминая все, чем я раньше занимался, я спрашиваю себя, а существовал ли я вообще. Пересечение всех этих множеств, очевидно, пусто»^[143]. И действительно, с первых лет своей карьеры и работы на IBM Мандельброт попробовал себя во множестве областей, но нигде не задержался. Его всегда считали аутсайдером. Он выбрал для своих изысканий забытый всеми раздел математики и ошарашил коллег экстравагантностью подхода. Он вторгался в те сферы, где его редко готовы были принять. Он скрывал самые грандиозные свои идеи, лишь бы добиться публикации статей. Он сохранял за собой место только благодаря снисходительности своих работодателей в Йорктаун-Хайтсе. Он совершал набеги на пограничные дисциплины вроде экономики и быстро ретировался, оставляя после себя обманчивые надежды и почти никогда – законченные работы.

В истории хаоса Мандельброт нашел свой путь. Вопреки всему формировавшийся в его сознании образ реальности превратился в начале 1960-х годов из причудливой картинки в полноценное геометрическое построение. Для физиков, развивавших идеи ученых вроде Лоренца, Смейла, Йорка и Мэя, этот «колючий» математик оставался второстепенной фигурой, но предложенные им методы и язык исследований составили неотъемлемую часть зарождавшейся науки.

Характеристика, данная ученым самому себе, едва ли показалась бы удачной тем, кто знал Мандельброта в пору зрелости, когда у него уже были его статус, титулы и награды. Однако лучшим ключом к пониманию его личности является тот факт, что Бенуа Мандельброт происходил из семьи эмигрантов. Он родился в Варшаве в 1924 году, в семье с литовско-еврейскими корнями^[144]. Отец его торговал одеждой, мать работала зубным врачом. Из неспокойной Польши в 1936 году семья перебралась в Париж, где жил дядя мальчика, математик Шолем Мандельбройт. Когда началась война, семья, вновь столкнувшись с проявлениями нацизма, бросила нажитое и, прихватив лишь несколько чемоданов, присоединилась к потокам беженцев, наводнившим дороги на юг. В конце концов она оказалась в городке Тюль.

Здесь Бенуа поступил в ученики к слесарю. Среди подмастерьев он опасно выделялся высоким ростом и образованностью. Наступали времена тотальной слежки и животного страха. Позже он редко вспоминал о пережитых тогда лишениях, вместо этого обращаясь в своей памяти к той поддержке и помощи, которую оказывали мальчику школьные учителя в Тюле и других местах. Некоторые из этих учителей были известными учеными, чьи судьбы сломала война. В целом образование Мандельброта нельзя было назвать систематическим; он сам признавался, что не учил алфавит и, что гораздо важнее, таблицу умножения дальше пяти. Просто он был щедро одарен от природы.

После освобождения Парижа Мандельброт в течение месяца, несмотря на недостаточную подготовку, успешно сдал устные и письменные экзамены в Высшую нормальную школу и в Политехническую школу. Наряду с другими заданиями экзамены включали и проверку способностей к рисованию. Мандельброт совершенно неожиданно обнаружил в себе скрытое дарование, набросав статую Венеры Милосской. На экзамене по математике, где предлагались задачи по алгебре и математическому анализу, он ухитрился компенсировать пробелы в знаниях безошибочной геометрической интуицией. Мандельброт понял, что, решая аналитическую задачу, он почти всегда способен представить ее в виде некой воображаемой формы, которую можно изменять, преобразовывать ее симметрии, делая ее более гармоничной. Зачастую такие преобразования и открывали ему путь к решению проблемы. Когда дело дошло до физики и химии, геометрия помочь уже не могла, и оценки оставляли желать лучшего. Зато математические вопросы, на которые он ни за что не ответил бы, используя стандартную методику, вполне поддавались геометрическим манипуляциям.

Высшая нормальная и Политехническая школы были элитными учебными заведениями, не имевшими аналогов в американской системе образования. В общей сложности они ежегодно готовили не более трехсот выпускников, поступавших главным образом на работу в университеты Франции или на государственную службу. Мандельброт начал свое обучение в Высшей нормальной школе, менее крупном, но более престижном из этих двух учебных заведений, однако через несколько дней перевелся в Политехническую школу, успев заодно сбежать от Бурбаки^[145].

Наверное, нигде, кроме Франции, в которой процветали авторитарные учебные заведения и сформировалась особая традиция образования, не могла появиться такая группа. Все начиналось как клуб, основанный в беспокойную пору после Первой мировой Шолемом Мандельбройтом и горсткой беззаботных молодых математиков, которые стремились изменить французскую математическую школу. Одним из ужасных демографических последствий войны стал разрыв в поколение между университетскими профессорами и их студентами, нарушивший преемственность в академической среде. Теперь эти талантливые молодые люди намеревались заложить фундамент новой математической практики. Даже само название их группы было шуткой, понятной лишь узкому кругу, и выбрали его за странно привлекательное звучание. Как выяснилось позже, так звали французского генерала греческого происхождения, жившего в XIX веке. Бурбаки появился на свет в минуту веселья, но вскоре оно испарилось.

Члены общества встречались тайно, и даже не все их имена нам известны. Число входивших в группу ученых не менялось. Когда один из них по достижении пятидесяти лет выходил из общества (это поставили непременным условием), оставшиеся выбирали ему замену. Общество объединяло лучших и достойнейших из математиков, идеи которых вскоре распространились по всему материку.

Частично создание группы было ответом на идеи Пуанкаре, выдающегося мыслителя второй половины XIX века, весьма плодовитого ученого и писателя, который, однако, невысоко ставил строгость и точность. Если точно знаешь, что идея должна быть верна, говорил Пуанкаре, зачем ее доказывать? Заложенные им основы математики представлялись членам группы Бурбаки довольно шаткими, и они с фанатичным упорством принялись писать огромные трактаты, пытаясь направить науку в верное русло. Центральное место в их умопостроениях занял логический анализ: математик должен начинать с устоявшихся базовых принципов и на их основе выводить все остальные. Входившие в группу ученые считали математику первой из наук. Она виделась им обособленной областью знания, которая всегда остается самой собой и не может оцениваться по степени применимости к реальным физическим феноменам. Наконец, группа Бурбаки отвергала использование наглядных изображений, мотивируя это тем, что глаз всегда обманет математика. Иными словами, геометрии доверять не стоило. Математике надлежало быть кристально чистой, строгой и полностью соответствующей правилам.

Подобную идею нельзя было назвать исключительно французской. В Соединенных Штатах математики отвергали притязания физических наук так же твердо, как художники и писатели старались дистанцироваться от запросов массовой культуры. Господствовала полнейшая точность, объекты изучения математических дисциплин становились замкнутыми и независимыми, а метод – формально-аксиоматичным. Математик мог гордиться тем, что его изыскания ровным счетом ничего не объясняли ни в реальном, ни в научном мире. Из подобного отношения к исследованиям проистекало немало пользы, что весьма ценилось учеными. Даже Стивен Смейл, стремившийся воссоединить математику с естественными науками, глубоко верил – насколько он вообще мог верить во что-либо – в то, что математика должна быть самодостаточной^[146]. С независимостью и обособленностью приходила ясность, шествовавшая рука об руку с точностью аксиоматичного метода. Каждому серьезному математику понятно, что точность являет собой определяющую силу самой дисциплины, ее прочную основу, без которой науку ждет гибель. Именно точность позволяет ученому уловить направление мысли, развиваемой веками, и уверенно продолжить работу над ней.

Однако требования точности обернулись неожиданными последствиями для математики XX века, избравшей свой особый путь^[147]. Ученый ищет достойную разрешения проблему и определяет, каким образом будет действовать дальше. Так получалось, что довольно часто исследователь вынужден был выбирать между двумя способами – математически строгим либо не столь корректным, зато небезынтересным с точки зрения понимания природы окружающего мира. Для математика выбор был ясен. Он абстрагировался от природы, и его студенты, сталкиваясь с той же проблемой, следовали по пути учителя.

Нигде математическая чистота не блюлась столь строго, как во Франции. Группа Бурбаки достигла такого успеха, о котором ее основатели не могли даже мечтать. Их принципы, стиль и язык постепенно становились обязательными. Они достигли абсолютного господства, распространив свое влияние на всех талантливых студентов и выпуская в мир все новых и новых успешных математиков. Группа полностью подчинила себе Высшую нормальную школу, чего Бенуа Мандельброт не мог стерпеть. Из-за этого он покинул школу, а десятилетие спустя и Францию, переселившись в Соединенные Штаты. Через несколько десятилетий бескомпромиссные абстракции Бурбаки начнут медленно затухать в сознании математиков под влиянием шока, вызванного компьютером с его возможностью генерировать зрительно доступные образы. Но все это уже не имело значения для Мандельброта, который сразу же взбунтовался против формализма Бурбаки, потому что не мог предать свою геометрическую интуицию.

Творец своей собственной мифологии, Мандельброт во вступлении к книге «Кто есть кто» писал: «Наука разрушила бы саму себя, поставив во главу угла состязательность, как это происходит в спорте, и объявив одним из своих правил обязательный уход в узкоспециальные дисциплины. Те немногие ученые, которые по собственному желанию становятся „кочевниками“, исключительно важны для процветания уже устоявшихся научных отраслей». Итак, этот «кочевник» по убеждению, а также «первооткрыватель по необходимости» (еще один его собственный термин) покинул Францию, приняв предложение Исследовательского центра корпорации IBM имени Томаса Джона Уотсона^[148]. Ни разу за тридцать последующих лет, выведших Мандельброта из тени безвестности к славе, ни одна его работа не была воспринята всерьез представителями тех дисциплин, которыми он занимался. Даже математики, не злословя открыто, замечали, что, кем бы ни был Мандельброт, он точно не один из них.

Находя вдохновение в малоизвестных фактах позабытых областей истории науки, ученый медленно нащупывал собственный путь. Он занялся математической лингвистикой, объяснив закон распределения языковых единиц. (Извиняясь за символизм этой истории, он утверждал, что вопрос оказался в поле его зрения совершенно случайно: он наткнулся на статью в книжном обозрении, которое выудил из мусорной корзины знакомого математика, чтобы было что почитать в метро.) Изучал Мандельброт и теорию игр. Он также выработал собственный подход к экономике и писал об упорядоченности масштабов в распределении малых и больших городов. Но то общее, та первооснова, что связывала все его труды воедино, оставалась еще в тени, не получив завершения.

В самом начале своей работы на IBM, вскоре после исследования ценовых механизмов, Мандельброт столкнулся с практической задачей, в решении которой был весьма заинтересован его работодатель. Инженеров корпорации ставила в тупик проблема шума в телефонных линиях, используемых для передачи информации от одной вычислительной машины к другой. Электрический ток несет информацию в виде импульсов. Инженеры прекрасно понимали, что влияние помех будет тем меньше, чем выше мощность сигнала, однако некий самопроизвольный шум никак не удавалось свести на нет. Он просто возникал временами, угрожая стереть часть сигнала и тем самым внести ошибку в передаваемые данные.

Несмотря на то что помехи при трансляции сигнала имели случайную природу, шумы генерировались в виде кластеров. Промежутки «чистой» передачи сменялись периодами помех. Поговорив с инженерами, Мандельброт выяснил, что есть ряд устных свидетельств об этих ошибках, которые никогда не были записаны, потому что противоречили всем стандартным подходам: чем больше инженеры всматривались в эти кластеры, тем более сложными они казались. Мандельброту удалось описать распределение ошибок так, чтобы точно предсказать наблюдаемые эффекты. Но все же этот феномен был в высшей степени странным! В силу определенных причин подсчитать средний уровень шумов – их среднее количество в час, минуту или секунду – представлялось невозможным. Если следовать схеме, предложенной Мандельбротом, получалось, что в среднем возникновение ошибок стремилось к бесконечной редкости.

Описание Мандельброта было основано на все более глубоком разделении периодов чистой передачи и периодов с ошибками. Что это означает? Допустим, мы разбили сутки на часовые интервалы. Первый час проходит вообще без сбоев. В следующий час они могут появиться, а затем снова на час исчезнуть.

При разбиении часового промежутка с помехами на более мелкие временные интервалы, например на двадцатиминутные, оказывалось, что некоторые из них абсолютно чистые, в то время как в других внезапно обнаруживаются шумы. Фактически, утверждал Мандельброт, – и это совершенно противоречило интуиции – невозможно найти временной промежуток, в течение которого распределение ошибок станет непрерывным. Внутри каждого пучка шумов, независимо от его продолжительности во времени, всегда будут наблюдаться моменты абсолютно чистой передачи. Более того, Мандельброт обнаружил устойчивое отношение между периодами ошибок и промежутками чистой передачи. В масштабах часа или даже секунды соотношение этих двух периодов оставалось постоянным. (Однажды ученого напугали сообщением, что его схема не работает. Однако быстро выяснилось, что инженеры просто не зафиксировали наиболее вопиющие случаи, решив, что они не относятся к делу.)

Множество Кантора («канторова пыль»). Начинаем с одного отрезка, у которого удаляем среднюю треть. Затем удаляем средние трети оставшихся сегментов, и так далее. Множеством Кантора именуется «пыль» из точек, остающихся после всех подобных операций. Точек бесконечно много, но их общая длина равна нулю. Математиков XIX века смущали парадоксы подобных конструкций. Мандельброт использовал последовательность Кантора в качестве модели возникновения помех во время передачи электрических сигналов. Инженеры наблюдали свободные от шумов периоды передачи данных, чередовавшиеся с промежутками, в которые внезапно возникали помехи. При ближайшем рассмотрении оказывалось, что «вспышки» ошибочной информации содержали внутри себя совершенно «чистые» промежутки. Этот феномен представлял собой пример фрактального времени. Мандельброт обнаружил, что в каждом временном масштабе, начиная от часа и заканчивая секундами, соотношение погрешностей и «чистых» сигналов постоянно. Подобные множества точек, заключил он, необходимы при моделировании перемежаемости.

Инженеры не обладали достаточными знаниями, чтобы понять описание Мандельброта, чего нельзя сказать о математиках. В сущности, он продублировал абстрактную конструкцию, названную множеством Кантора – в честь великого математика XIX века Георга Кантора. Для ее построения необходимо начать с отрезка числовой прямой от нуля до единицы, а затем удалить одну его треть из середины. Останутся два крайних отрезка, которые нужно подвергнуть той же процедуре: из каждого удалить середину (от 1/9 до 2/9 и от 7/9 До 8/9). Останутся четыре отрезка, с ними нужно сделать то же самое. Повторяя эту операцию до бесконечности, мы получим странную «пыль» точек, собранных в кластеры. Их бесконечно много, при этом они бесконечно разрежены. Мандельброт рассматривал погрешности в передаче информации как множество Кантора, записанное на оси времени.

Такое в высшей степени абстрактное описание имело большое практическое значение для ученых, пытавшихся выработать эффективную стратегию борьбы с ошибками при передаче информации^[149]. В частности, сделанные Мандельбротом выводы подсказали, что увеличивать силу сигнала в целях устранения большего количества шумов бесполезно. Разумнее остановить выбор на сравнительно слаботочной связи, смириться с неизбежностью погрешностей и использовать стратегию дублирования сигналов для исправления ошибки. Благодаря Мандельброту инженеры корпорации IBM изменили свои взгляды на причину шумов: раньше внезапное появление помех списывали на то, что где-то техник орудует отверткой, но построенная ученым модель доказала, что нельзя объяснять природу помех специфичными локальными явлениями.

Затем воображение Мандельброта захватила информация, почерпнутая из гидрографии, точнее из истории Нила. Египтяне тысячелетиями наблюдали и фиксировали уровень вод в реке и делали это совсем не из праздного любопытства: он менялся чрезвычайно резко – в иные годы поднимался довольно высоко, в другие великая река мелела. Мандельброт классифицировал данные о таких изменениях. Он выделил два типа эффектов, наблюдаемых также и в экономике, и назвал их эффектами Ноя и Иосифа.

Эффект Ноя, или скачок, обозначает отсутствие последовательности, иначе говоря, разрыв: когда количественная величина изменяется, она может изменяться сколь угодно быстро^[150]. Экономисты традиционно полагали, что цены меняются довольно плавно в том смысле, что проходят – быстро или медленно – через все уровни, лежащие на пути от одной точки к другой. Этот образ движения, заимствованный из физики, был ложным: цены могут совершать мгновенные скачки, сменяющие друг друга с той же быстротой, с какой новости мелькают на ленте телетайпа и тысячи брокеров меняют решения, просчитывая выгоды. Мандельброт утверждал, что если в своей торговой стратегии вы исходите из того, что акция, падающая с 6о до ю долларов, в какой-то момент обязательно будет продаваться за 50 долларов, то ваша стратегия обречена на провал.

Эффект Иосифа символизирует постоянство. Наступят семь плодородных лет на земле египетской, и придут после них семь лет голода. Периодичность, если именно о ней идет речь в библейской легенде, конечно, понимается чересчур упрощенно, однако периоды наводнений и периоды засухи действительно настают вновь и вновь. Хотя подобное кажется случайностью, чем дольше та или иная местность страдает от засухи, тем больше вероятность, что засушливые периоды повторятся. Более того, математический анализ колебаний уровня Нила выявил, что подобное постоянство наблюдалось как десятилетиями, так и веками. Два явления – скачки и постоянство – стремятся к противоположным результатам, но сводятся к одному: тенденции в природе вполне реальны, однако способны затухать так же быстро, как и проявляться.

Отсутствие последовательности, внезапные «вспышки» помех, множества Кантора – подобным явлениям не нашлось места в истории геометрии двух прошедших тысячелетий. Формами классической геометрии считаются прямые и плоскости, окружности и сферы, треугольники и конусы. Они воплощают могущественную абстракцию действительности, они вызвали к жизни непревзойденную философию гармонии Платона. Евклид построил на их основе геометрию, известную уже две тысячи лет, и по сей день большинство людей знакомы только с ней. Художники распознавали в таких формах идеалы красоты, астрономы составили из них птолемееву картину мира, но для постижения истинной сложности наука нуждается в ином типе абстракции, нежели тот, что присущ классической геометрии.

Как любил повторять Мандельброт, облака далеки по своей форме от сфер, горы совсем не конусы, а молния отнюдь не придерживается в своем движении прямой линии^[151]. Новая гeoметрия отражает грубые и шершавые очертания Вселенной, а не гладкие и круглые. Зарождающуюся науку можно назвать геометрией отверстий, выщербин, разломов и переплетений. Пониманию сложной природы живого мира недоставало одного лишь предположения, что сложность – это не что-то случайное. Истинное проникновение в глубины хаоса требовало безоговорочной веры в то, что интереснейшей чертой, например, разряда молнии является не ее направление, а скорее расположение ее зигзагов. Исследования Мандельброта претендовали на новое видение действительности, указывая на то, что эти странные формы имеют особое значение. Выщербины и сплетения – это не просто какие-то изъяны идеальных форм евклидовой геометрии. Наоборот, зачастую именно они передают саму сущность явлений.

В чем состоит сущность, скажем, линии побережья? Такой вопрос Мандельброт задал в статье «Какова длина береговой линии Великобритании?», ставшей поворотным пунктом в мышлении ученого.

С феноменом береговой линии он столкнулся, изучая малоизвестную работу английского ученого Льюиса Фрая Ричардсона, вышедшую после смерти автора. Последнему удалось отыскать множество поразительных вещей, ставших впоследствии элементами хаоса. Еще в 1920-х годах Ричардсон размышлял о предсказании погоды. Он изучал турбулентность в жидкостях, бросая мешок с белыми цветами в воды канала Кейп-Код, и задавался вопросом «Имеет ли ветер скорость?» в одноименной статье 1926 года. («Спрашивать о таком, на первый взгляд, глупо, но, как оказывается, поучительно», – писал ученый.) Зачарованный изгибами береговых линий и государственных границ, Ричардсон проштудировал энциклопедии Испании и Португалии, Бельгии и Нидерландов и обнаружил, что указанные там протяженности общих границ этих стран различаются от одного справочного издания к другому на 20 %^[152].

Анализ, проделанный Мандельбротом, ошеломлял. Посвященные в его результаты испытывали шок от этих умозаключений, не то до боли очевидных, не то до абсурда ложных. Как подметил ученый, на вопрос о длине береговых линий большинство людей дают один из двух стандартных ответов: «Не знаю. Это не по моей части» или «Даже не представляю. Посмотрю в энциклопедии».

На самом деле длина любой береговой линии, объяснял Мандельброт, в известном смысле бесконечно велика. Если подходить с другой стороны, ответ, конечно же, будет зависеть от величины линейки. Рассмотрим один из возможных методов измерения. Топограф, вооружившись циркулем, разводит его ножки на расстояние одного ярда и измеряет линию побережья. Полученный результат будет приблизительным, поскольку циркуль «перешагивает» изгибы и повороты, длина которых меньше ярда, но на результате, который фиксирует топограф, это не отражается. Если он разведет ножки не так широко, скажем на один фут, и повторит процедуру, конечный результат окажется больше предыдущего. Будет «схвачено» больше деталей. Чтобы покрыть расстояние, которое ранее измерялось одним шагом циркуля, потребуется уже более трех шагов длиной в один фут. Топограф записывает новый результат и, разведя ножки на четыре дюйма, снова принимается за дело. Подобный мысленный эксперимент показывает, как можно получить различные результаты при изменении масштаба исследования. Наблюдатель, пытающийся измерить длину береговой линии Великобритании с космического спутника, получит менее точный результат, чем тот, кто не поленится обойти все бухты и пляжи. Последний же, в свою очередь, проиграет улитке, оползающей каждый камешек.

Хотя результат каждый раз будет возрастать, здравый смысл подсказывает, что он неуклонно стремится к некой конечной величине – истинной длине береговой линии. Иными словами, все измерения сойдутся в одной точке. Если бы линия побережья представляла собой одну из фигур евклидовой геометрии, к примеру круг, применение вышеописанного метода сложения отрезков прямой линии, измеренных каждый раз со все большей точностью, оказалось бы успешным. Однако Мандельброт обнаружил, что при бесконечном уменьшении масштаба измерения получаемая длина береговой линии неограниченно растет. В бухтах и на полуостровах обнаруживаются мелкие бухточки и мысики – и так вплоть до размеров крошечного атома. Лишь при достижении атомного уровня измерения подойдут к концу. Возможно.

Фрактальный берег. Береговая линия сгенерирована компьютером. Детали случайны, однако фрактальная размерность постоянна, так что шершавости и неровности выглядят все теми же, независимо от степени увеличения.

Геометрия Евклида, оперирующая длинами, ширинами и высотами, не позволяла постичь сущность неправильных форм, и Мандельброту пришло в голову отталкиваться от идеи размерности, в которой ученые усматривают гораздо больше, чем обыватели. Мы живем в трехмерном пространстве, и это означает, что для определения положения точки нам надо задать три координаты, например долготу, широту и высоту. Оси трехмерного пространства представляют собой три взаимно перпендикулярные линии, пересекающиеся в начале координат. Это все еще территория евклидовой геометрии, где пространство характеризуется тремя измерениями, плоскость – двумя, прямая – одним, а точка имеет нулевую размерность.

Процесс абстрагирования, позволивший Евклиду постичь одномерные и двумерные объекты, может быть с легкостью применен и к явлениям повседневной жизни^[153]. Так, с практической точки зрения карта дорог являет собой двумерный объект – фрагмент плоскости, в котором для адекватного отображения объекта задействованы два измерения. Безусловно, реальные дороги трехмерны, как и все остальное, однако их высота столь трудноуловима (и в общем-то несущественна для их эксплуатации), что ее можно не учитывать. Заметим, что карта дорог остается двумерной даже тогда, когда ее сворачивают. Так и нить всегда имеет лишь одно измерение, а частица или точка не имеют его вовсе.

А сколько измерений у клубка бечевки? По мнению Мандельброта, ответ на этот вопрос зависит от уровня восприятия. С огромного расстояния клубочек представляется не более чем точкой с нулевой размерностью. Приближаясь, можно заметить, что он подобен шару и, таким образом, характеризуется уже тремя измерениями. На еще более близком расстоянии становится различимой сама бечевка, а объект приобретает одно измерение, скрученное таким образом, что задействуется трехмерное пространство. Вопрос о количестве чисел, необходимых для определения положения точки, остается актуальным: пока мы вдалеке, нам не нужно ни одного, поскольку мы видим лишь точку; приблизившись, мы нуждаемся уже в трех; а подойдя еще ближе, довольствуемся одним, так как любое заданное положение вдоль всей длины бечевки неповторимо, вне зависимости от того, вытянута она или смотана в клубок.

Продвигаясь далее, к более мелким, видимым только под микроскопом деталям, мы обнаружим следующее: бечевка состоит из скрученных трехмерных протяженных объектов, а те, в свою очередь, – из одномерных волокон, вещество которых распадается на частицы с нулевой размерностью. Так Мандельброт, поправ математические традиции, обратился к относительности, заявив: «Представление о том, что численный результат измерений зависит от связи объекта и наблюдателя, вписывается в понятия современной физики и даже является их превосходной иллюстрацией»^[154].

Оставив в стороне философию, мы увидим, что реальные измерения объекта оказываются отличны от трех его привычных параметров. Слабым местом выдвинутых Мандельбротом аргументов стало то, что они основывались на слишком смутных понятиях – «издалека» и «чуть ближе». А что наблюдается в промежутке? Бесспорно, провести строгую черту, по пересечении которой клубок бечевки превращается из трехмерного объекта в одномерный, невозможно. Однако проблема с отсутствием строгого определения для этих переходов заставила по-новому взглянуть на вопрос о размерности.

Мандельброт двигался от целочисленных размерностей 0, 1, 2, 3··· к тому, что казалось невозможным, – к дробным. Представление о них было столь экстравагантным, что ученым-нематематикам оставалось только принять его на веру. Тем не менее неожиданный подход оказался чрезвычайно перспективным.

Дробная размерность позволяет вычислять характеристики, которые не могут быть четко определены иным путем: степени неровности, прерывистости или нерегулярности какого-либо объекта. Например, извилистая береговая линия, несмотря на неизмеримость ее «длины», обладает присущей только ей шероховатостью. Мандельброт указал пути расчета дробной размерности для объектов окружающей действительности либо исходя из способа построения соответствующих форм, либо исходя из данных. Создавая свою геометрию, он выдвинул закон о неупорядоченных формах, что встречаются в природе. Этот закон гласил: степень иррегулярности постоянна при различных масштабах. Справедливость этого постулата на удивление часто подтверждается. Мир снова и снова обнаруживает регулярную иррегулярность.

Однажды зимним днем 1975 года Мандельброт работал над своей первой монографией^[155]. Он знал, что нечто похожее возникает и в физике, и понял, что должен найти некий термин, который стал бы стержнем его геометрии. Одолжив у вернувшегося из школы сына латинский словарь, Мандельброт принялся с интересом перелистывать его. Там он наткнулся на прилагательное fractus, образованное от глагола fragerе – «разбивать». Слово было созвучно английским fracture(«разрыв») и fraction(«дробь»). Так Мандельброт придумал термин fractal («фрактал»), который вошел в современные английский и французский языки.

Фрактал позволяет вообразить бесконечность.

Представьте себе равносторонний треугольник с длиной стороны в один фут. А теперь мысленно проделайте следующую вполне определенную и легко повторяемую трансформацию: выделите на каждой стороне треугольника среднюю треть и приставьте к ней равносторонний треугольник, длина стороны которого составляет одну треть от длины стороны исходной фигуры.

Результатом будет звезда Давида. Она образована уже не тремя отрезками длиной в один фут, а двенадцатью отрезками длиной в четыре дюйма, и вершин у нее не три, а шесть.

Повторите операцию, прикрепив еще меньший треугольник к средней трети каждой из двенадцати сторон. Если проделывать эту процедуру вновь и вновь, число деталей в образуемом контуре будет расти и расти, подобно тому как дробятся отрезки при построении множества Кантора. Изображение приобретает вид снежинки с геометрически идеальными очертаниями. Эта фигура известна как снежинка Коха, и названа она в честь шведского математика Хельге фон Коха, впервые описавшего ее в 1904 году.

Снежинка Коха (вверху справа и в среднем ряду)и кривая Коха (внизу; «Приблизительная, но весьма удачная модель береговой линии», как охарактеризовал ее Мандельброт). Чтобы создать снежинку Коха, начнем с построения треугольника, каждая сторона которого равна единице. В середину каждой стороны встроим новый треугольник со стороной втрое меньшей и повторим преобразования многократно. Длина контура полученной фигуры равна 3 x 4/3 x 4/3 x 4/3… и так до бесконечности. Однако ее площадь все же меньше площади окружности, описанной около первоначального треугольника. Таким образом, бесконечно длинная линия очерчивает ограниченную площадь.

Поразмыслив, можно заключить, что снежинке Коха присущи некоторые весьма занимательные черты. Прежде всего, она представляет собой непрерывную замкнутую кривую, никогда не пересекающую саму себя, так как новые треугольники на каждой стороне всегда достаточно малы и поэтому не сталкиваются друг с другом. Каждое преобразование добавляет немного пространства внутри кривой, однако ограниченная ею площадь остается конечной и фактически лишь незначительно превышает площадь первоначального треугольника. Если описать окружность около последнего, кривая никогда не растянется за ее пределы.

Но все же сама кривая Коха бесконечно длинная, как и евклидова прямая, стремящаяся к краям ничем не ограниченной Вселенной. Подобно тому как во время первой трансформации один отрезок длиной в один фут заменяется на четыре длиной в четыре дюйма, каждое последующее преобразование умножает общую длину кривой на четыре третьих. Подобный парадоксальный итог – бесконечная длина в ограниченном пространстве – в начале XX века озадачил многих математиков. Кривая Коха оказалась монстром, безжалостно поправшим все мыслимые интуитивные ощущения относительно форм и (это воспринималось как данность) непохожим на что-либо, существующее в природе.

В этих обстоятельствах не выглядит странным, что исследования некоторых упрямых математиков, придумавших иные фигуры, чьи свойства были похожи на свойства кривой Коха, также вызвали слабый отклик в научном мире в свое время. Речь идет о кривых Пеано, а также коврах и салфетках Серпинского. Для построения ковра Серпинского нужно взять квадрат и разделить его на девять равных квадратов меньшей площади, а затем удалить центральный. Далее следует повторить операцию с восьмью оставшимися квадратами, сделав в центре каждого из них отверстие. Салфетка Серпинского представляет собой примерно то же самое, но ее составляют не квадраты, а равносторонние треугольники. Она обладает качеством, которое весьма трудно представить: любая произвольная точка является точкой разветвления, своего рода вилкой в структуре. Вообразить подобное сложно, пока не посмотришь на Эйфелеву башню, хорошее трехмерное приближение: ее балки, фермы и перекрытия, разветвляясь на изящные решетчатые конструкции, являют собой мерцающую сетку тончайших деталей^[156]. Эйфель, конечно же, не мог достичь бесконечности в своем творении, однако ценил тонкий инженерный подход, который позволил ему сделать сооружение менее тяжеловесным, не лишив его прочности.

Очень трудно визуально представить сложность, бесконечно вложенную саму в себя. Однако человеку с развитым пространственным воображением такое повторение структуры во все более мелких масштабах может открыть целый мир. Мандельброт исследовал подобные формы, пытаясь силой разума расширить таящиеся в них возможности. Это занятие увлекало его, как игра; словно ребенок, он с восторгом любовался новыми конструкциями, которые никто не увидел и не постиг до него. Он придумывал им названия: канат, простыня, губка, пена, сгусток, набивка.

Фрактальная размерность оказалась замечательным инструментом. В известном смысле степень иррегулярности определяла способность того или иного объекта занять определенное пространство. Обычная евклидова одномерная прямая не занимала пространства вовсе, чего нельзя сказать о контуре кривой Коха, бесконечная длина которого теснится в ограниченном пространстве. Сама кривая являет собой уже нечто большее, чем просто линию, но все же это еще и не плоскость; она глубже одномерного объекта, но поверхностнее двумерной формы. Используя технику, созданную математиками в начале XX века, но потом почти забытую, Мандельброт смог вполне точно описать фрактальную размерность^[157]. Для кривой Коха, например, бесконечное умножение на 4/3 дает размерность 1,2618.

Продолжая следовать этим путем, Мандельброт, по сравнению с другими математиками, которые занимались подобными фигурами, пользовался двумя преимуществами. Первым его преимуществом было то, что он имел доступ к вычислительной технике корпорации IBM, и это помогло ему решить задачу, идеально подходящую для высокоскоростного компьютера. Подобно тому как метеорологам приходится проделывать одни и те же подсчеты для миллионов соседствующих друг с другом точек атмосферы, Мандельброт должен был вновь и вновь выполнять несложное преобразование. Изобретательность помогает понять суть трансформаций. Компьютер мог нарисовать их, демонстрируя порой весьма неожиданные результаты. В начале XX века математики быстро споткнулись на сложных вычислениях, равно как и для первых биологов отсутствие микроскопа стало серьезным препятствием. Воображение способно рисовать тончайшие детали, но лишь до определенной степени.

Губка Менгера. Лишь немногие математики в начале XX века проникли в сущность объектов, созданных с помощью техники добавления или удаления бесконечного множества составляющих их частей. Внешний вид подобных конструкций зачастую казался просто чудовищным. Одной из таких фигур является ковер Серпинского. Для его построения удаляют одну девятую часть из центра квадрата, затем вырезают девятые части из центров оставшихся, менее крупных восьми квадратов, и так далее. Аналогом ковра в трехмерном пространстве считается губка Менгера – весьма внушительная решетка, имеющая бесконечную площадь поверхности и нулевой объем.

Как отмечал Мандельброт, «целое столетие для математики прошло впустую, поскольку рисование не играло тогда в науке никакой роли. Рука, карандаш и линейка исчерпали себя. Будучи слишком привычными и понятными, эти средства перестали быть интересными, а компьютера еще не существовало. Вступив в игру, я ощутил, что в ней совсем не задействуется интуиция. Ее необходимо было развивать с нуля. Интуиция, взращенная традиционным воспитанием, вооруженная рукой, карандашом и линейкой, посчитала новые формы весьма уродливыми и далекими от общепринятых стандартов, введя нас в заблуждение. Первые полученные изображения весьма меня удивили, но позже во вновь конструируемых картинах стали проглядывать фрагменты предыдущих, и так продолжалось довольно долго. Отмечу, что интуиция не дается нам по умолчанию. Я приучал свою интуицию воспринимать как должное те формы, которые считались абсурдными и отвергались с самого начала. И я понял, что любой может поступить точно так же»^[158].

Другим преимуществом Мандельброта стала картина реальности, которую он начал выстраивать, столкнувшись со случайными отклонениями цен на хлопок, шумов при передаче сигналов и разливов рек. Картина начала приобретать отчетливость. Исследование примеров неупорядоченности в естественных процессах и анализ бесконечно сложных форм пересекались, и точкой пересечения послужило так называемое самоподобие. «Фрактальный» – это прежде всего «самоподобный».

Самоподобие представляет собой симметрию, проходящую сквозь масштабы, повторение рисунка внутри самого себя. Таблицы Мандельброта, отражавшие изменения во времени цен и уровня рек, обнаруживали самоподобие, поскольку не только демонстрировали похожие детали во все более малых масштабах, но эти детали имели одинаковые измеримые характеристики. Чудовищные фигуры вроде кривой Коха являлись самоподобными, потому что выглядели все теми же даже при большом увеличении. Самоподобие «встроено» в саму технику создания кривых: одно и то же преобразование повторяется при уменьшающемся масштабе. Самоподобие легко распознается, ведь его образы встречаются повсюду в нашей культуре: в бесконечно глубоком отражении фигуры человека, стоящего между двумя зеркалами, или в мультфильме о том, как рыбина заглотила рыбу, которая слопала рыбку, съевшую совсем маленькую рыбешку. Мандельброт любил цитировать Джонатана Свифта:

На северо-западе США землетрясения лучше всего изучать в геофизической лаборатории Ламонта – Доэрти, которая размещается в нескольких ничем не примечательных зданиях, затерянных среди лесов на юге штата Нью-Йорк, к западу от реки Гудзон^[160]. Именно там Кристофер Шольц, профессор Колумбийского университета, специализировавшийся на изучении формы и строения твердого вещества Земли, впервые задумался о таком явлении, как фракталы.

Хотя математики и физики-теоретики с пренебрежением отнеслись к трудам Мандельброта, Шольц принадлежал как раз к тому типу прагматиков, ученых практического склада, которые готовы были воспринять инструментарий фрактальной геометрии. Имя Мандельброта он впервые услышал в 1960-х годах, когда первооткрыватель фракталов еще занимался экономикой, а сам Шольц был аспирантом в Массачусетском технологическом институте и ломал голову над проблемой землетрясений. За два десятка лет до этого было выявлено, что распределение землетрясений большой и малой силы описывается особой математической моделью, подобной той, что отражает распределение индивидуальных доходов в экономике свободного рынка. Это наблюдение одинаково подходило для любого района земного шара, где бы ни подсчитывали число толчков и ни измеряли их силу. Принимая во внимание, сколь беспорядочны и непредсказуемы были сотрясения земной коры во всех других отношениях, имело смысл попытаться понять, какие именно физические процессы обуславливают подобную регулярность. По крайней мере, так думал Шольц. Многие другие сейсмологи довольствовались констатацией факта.

Шольц не забыл имени Мандельброта, и когда в 1978 году ему на глаза попалась богато иллюстрированная и напичканная уравнениями книга «Фракталы: форма, случайность и размерность», он купил этот труд – собрание весьма причудливых мыслей. Казалось, Мандельброт свалил туда в беспорядке все свои знания и гипотезы о Вселенной. За несколько лет эта работа и ее второе, расширенное и дополненное издание «Фрактальная геометрия природы» разошлись тиражом, какого не имела ни одна другая работа по высшей математике. Ее заумный стиль изложения вызвал раздражение, хотя местами сухая непроницаемость авторской манеры разбавлялась удачно сформулированными, остроумными и небанальными замечаниями. Мандельброт называл свою работу «манифестом и сборником примеров»^[161].

Один из немногих упрямцев, среди которых большинство составляли естественники, Шольц несколько лет размышлял над тем, какую пользу можно извлечь из этой книги. Вопрос был не столь очевидным. По выражению Шольца, «Фракталы» были «не практическим руководством, а книгой восторгов»^[162]. Он, впрочем, интересовался поверхностями, а о них рассказывалось буквально на каждой странице. Так и не сумев выкинуть из головы открытия Мандельброта, Шольц попытался применить фракталы к описанию, классификации и измерению геофизических объектов.

Вскоре Шольц понял, что не одинок в этом, хотя до созыва многолюдных конференций и семинаров должно было пройти еще несколько лет. Идеи фрактальной геометрии объединили ученых, озадаченных собственными наблюдениями и не знавших, как систематически их интерпретировать. Откровения фрактальной геометрии указали путь специалистам, исследовавшим слияние и распад всевозможных объектов. Ее методы как нельзя лучше подходили для изучения материалов: шероховатых поверхностей металлов, крошечных отверстий и канавок в ноздреватом старом камне, фрагментированных пейзажей зоны землетрясения.

Как представлял себе Шольц, в компетенцию геофизиков входило описание поверхности Земли – поверхности, чье соприкосновение с океанами формирует береговую линию. Твердая земная кора включает в себя зоны разрывов и расселин. Сдвигов, изломов и трещин на каменном лике Земли такое количество, что именно они дают ключ к тайнам планеты. Для постижения этих тайн они значат больше, чем слагающие земную кору горные породы. Расселины пересекают поверхностный слой нашей планеты в трех измерениях, образуя то, что Шольц назвал «распадающейся оболочкой». Эта оболочка регулирует циркуляцию в земной коре воды, нефти, природного газа. Она влияет на землетрясения. Постижение свойств поверхностей представляло собой задачу первостепенной важности, но Шольц полагал, что его наука зашла в тупик. Откровенно говоря, не от чего было даже оттолкнуться.

Геофизики рассматривали поверхности так, как их рассматривал бы кто угодно – как некоторые геометрические формы. Например, поверхность может быть плоской. Или может иметь некоторую конкретную форму – скажем, можно рассмотреть поверхность в форме автомобиля «Фольксваген-жук». Ее можно измерить традиционными методами евклидовой геометрии, описать уравнением. Однако Шольц был убежден, что при таком подходе мы словно бы рассматриваем поверхность в узком спектральном диапазоне, доступном нашему зрению. Это все равно что обозревать Вселенную сквозь красный фильтр – мы увидим только то, что возможно увидеть при данной длине волны, и упустим все, что воспринимается в других цветах, при иных длинах волн, не говоря уже о прочих частях спектра, например инфракрасном излучении или радиоволнах. В этом примере спектр соответствует масштабу. Рассматривать поверхность автомашины, используя евклидову геометрию, значит воспринимать ее лишь с позиции наблюдателя, находящегося в десятке или сотне метров от объекта. А что он увидит на расстоянии одного или ста километров? Одного миллиметра? Одного микрона?

Представьте себе, что наблюдаете поверхность земного шара из космоса, с расстояния в сто километров. Линия поверхности то опадает, то вздымается, огибая деревья, бугорки, здания и – где-нибудь на автостоянке – «фольксваген». В таком масштабе автомобиль – лишь одна из многочисленных выпуклостей, кусочек случайности.

Или вообразите, что мы придвигаемся к машине все ближе и ближе, рассматриваем ее в лупу или даже в микроскоп. Сначала, по мере того как округлость бамперов и капота пропадает из поля зрения, очертания становятся более плавными. Затем проявляются бугорки на поверхности стального корпуса. Расположение их произвольно, оно кажется хаотическим.

Шольц выяснил, что фрактальная геометрия снабдила науку эффективным методом описания специфичного бугристого ландшафта Земли. Металлурги обнаружили то же самое в отношении поверхностей различных типов стали. В частности, фрактальная размерность поверхности металла зачастую позволяет судить о его прочности. Фрактальная размерность ландшафтов планеты открывает двери к постижению ее важнейших характеристик. Шольц размышлял о классической геологической формации – об осыпи на склоне горы. С большого расстояния она кажется одной из двумерных евклидовых форм, тем не менее геолог, приближаясь, обнаруживает, что двигается не столько по поверхности такой формы, сколько внутри нее. Осыпь распадается на валуны размером с легковую машину. Ее действительная размерность составляет уже около 2,7, поскольку каменистые поверхности, загибаясь и сворачиваясь, занимают почти трехмерное пространство, подобно поверхности губки.

Фрактальные изображения незамедлительно нашли применение при изучении целого ряда проблем, связанных со свойствами контактирующих поверхностей. Например, соприкосновение автомобильных покрышек и бетона – достаточно сложный предмет для исследования, как и соединение узлов или электрических контактов в механизмах. Свойства соединенных поверхностей совершенно отличны от свойств задействованных при этом материалов. Различие обуславливается характером фрактального наложения составляющих поверхности бугорков. Один из простых, но весьма важных постулатов фрактальной геометрии состоит в том, что контактирующие поверхности соприкасаются далеко не везде: соприкосновению препятствует их бугристость, прослеживаемая в любом масштабе. Даже в скале, подвергшейся огромному давлению, при достаточно большом увеличении можно заметить крошечные промежутки, сквозь которые просачивается жидкость (Шольц назвал это «эффектом Шалтая-Болтая».) Именно поэтому никогда не удается соединить осколки разбитой чашки. Даже если они, на первый взгляд, совпадают, при большем увеличении становится видно, что беспорядочно расположенные бугорки просто не сходятся.

В своей области Шольц стал известен как один из немногих, кто принял фракталы на вооружение. Он понимал, конечно, что некоторые коллеги считают его занятия чудачеством. Включив в название статьи термин «фрактальный», он стал ловить на себе как восхищенные, так и осуждающие взгляды. Одни признавали его новатором, в то время как другие считали всего лишь конъюнктурщиком, примкнувшим к модному научному направлению. Даже написание работ давалось Шольцу мучительно трудно в силу необходимости решать, хочет ли он найти понимание только у горстки единомышленников или же у широкого круга геофизиков, которым приходилось растолковывать основные понятия. И все же Шольц не желал отказываться от арсенала фрактальной геометрии.

«Одна эта модель позволит нам справиться с множеством меняющихся измерений земного шара, обеспечив математическим и геометрическим инструментарием для их описания и предсказания, – утверждал он. – Однажды, преодолев препятствие и вникнув в парадигму, мы сможем измерять объекты и по-новому воспринимать известные явления. Мы просто взглянем на них по-иному, словно обретя другое зрение, гораздо шире того, что имели раньше»^[163].

Насколько он велик? Какова его продолжительность? Таковы, пожалуй, основные вопросы, интересующие ученого, который впервые столкнулся с тем или иным феноменом. Они настолько фундаментальны и важны для умозрительного восприятия мира человеком, что не сразу замечаешь в них некое предубеждение. Ведь эти вопросы предполагают, что размер и продолжительность – качества, зависящие от масштаба, – заключают в себе определенный смысл, помогая описать объект или классифицировать его. При описании биологом человека, а физиком кварка использование этих категорий действительно вполне уместно. Животные, зачастую обладающие внушительными размерами, увязываются с определенными масштабами. Представьте, что человек стал вдвое больше обычного, но сохранил те же пропорции – кости его просто разрушатся под тяжестью возросшей массы тела. Следовательно, масштаб очень важен.

Раздел физической науки, имеющий дело с подземными толчками, почти не связан с масштабом. Землетрясение большой силы – то же самое, что и землетрясение малой силы, только в увеличенном масштабе. Именно эта черта отличает исследование сейсмической активности от изучения животных. К организму длиной в десять дюймов нужно подходить с иной меркой, нежели к существу длиной в один дюйм. Если же тварь вымахала до ста дюймов и скелет ее держит возросшую массу тела, нужна совсем иная «конструкция». Облака, подобно землетрясениям, явления масштабируемые. Но характерная для них беспорядочность – ее вполне можно описать в терминах фрактальной размерности – при изменении масштаба не меняется. Вот почему, путешествуя по воздуху, совсем не ощущаешь, насколько далеко от тебя находится то или иное облако. Без помощи подсказок, таких как дальность видимости, проплывающее в двадцати футах от наблюдателя облако может быть неотличимо от того, что находится на расстоянии, в сотню раз большем. И действительно, анализ снимков, полученных со спутников, показал инвариантную фрактальную размерность облаков, наблюдаемых с расстояния в сотни миль.

Довольно сложно отделаться от привычки рассматривать явления прежде всего с точки зрения их размера и продолжительности. Однако фрактальная геометрия утверждает, что при исследовании некоторых фрагментов окружающего мира поиски присущего лишь им масштаба только отвлекают от сути. Взять хотя бы ураган. Согласно определению, он представляет собой вихрь определенного размера. Однако природа не умещается в рамки людских определений. В действительности ученые-метеорологи постепенно начинают осознавать, что всевозможные вихри образуют непрерывный континуум, начиная от порывистого кружения мусора на углу улицы и заканчивая огромными системами циклонов, видимыми из космоса. Разделение на категории лишь сбивает с толку. Помимо границ континуума есть и еще что-то посередине.

Оказывается, уравнения, описывающие потоки жидкости, во многих контекстах «безразмерны», то есть могут применяться без оглядки на масштаб. Уменьшенные модели крыльев самолетов и корабельных гребных винтов могут быть испытаны в аэродинамических трубах и лабораторных бассейнах. При этом, пусть и с небольшими ограничениями, штормы небольшой силы действуют аналогично более масштабным штормам.

Кровеносные сосуды, начиная от аорты и заканчивая капиллярами, образуют континуум иного типа. Многократно разветвляясь и делясь, они становятся столь узкими, что площадь их поперечного сечения оказывается сравнимой с размерами кровяной клетки. И такие разветвления имеют фрактальную природу, напоминая своей структурой один из уродливых объектов, придуманных математиками под эгидой Мандельброта. В силу физиологической необходимости кровеносные сосуды приобрели удивительные свойства, связанные с размерностью. Подобно тому как кривая Коха «вжимает» бесконечно длинную линию в ограниченное пространство, в системе кровообращения поверхность с огромной площадью должна вместиться в ограниченный объем. Из всех ресурсов человеческого тела кровь – один из самых дорогих, а пространство вообще ценится на вес золота. Используя возможности фрактальных структур, природа столь эффективно сконструировала человеческий организм, что в большинстве тканей каждая клетка отделена от кровеносного сосуда не более чем тремя или четырьмя подобными ей. При всем том сами сосуды и циркулирующая по ним кровь занимают совсем небольшое пространство – около 5 % объема тела. Мандельброт называл это синдромом венецианского купца – нельзя взять ни фунта, ни даже миллиграмма плоти, не пролив крови.

Такая утонченная структура, которая представляет собой два взаимодействующих «древа» вен и артерий, далеко не исключение. Человеческое тело полно подобными хитросплетениями. В тканях пищеварительного тракта одна волнистая поверхность «встроена» в другую. Легкие также являют пример того, как большая площадь «втиснута» в довольно маленькое пространство. У животных, имеющих легкие, способность поглощать кислород примерно пропорциональна площади дыхательной поверхности этого органа. В среднем площадь дыхательной поверхности легких человека больше площади теннисного корта. Но еще удивительнее то, как искусно природа пронизала лабиринт дыхательных путей артериями и венами.

Каждому студенту-медику известно, что легкие устроены таким образом, чтобы вмещать огромную дыхательную поверхность. Однако анатомия учит рассматривать этот орган лишь в одном масштабе за раз, к примеру, на уровне миллионов альвеол – микроскопических мешочков, завершающих разветвления дыхательных путей. Эта наука стремится скрыть единство сквозь масштабы. Фрактальный подход, напротив, предполагает рассмотрение структуры как целого через разветвления, которые в разных масштабах функционируют одинаково. Изучая систему кровообращения, анатомы подразделяют кровеносные сосуды на группы в зависимости от их размера: артерии, артериолы, артериальные капилляры, вены, венулы, венозные капилляры. В определенном смысле подобное разделение действительно имеет смысл, но в иных случаях оно просто ставит в тупик. А ведь истина так близко! В учебнике анатомии мы читаем: «При постепенном переходе от одного типа артериальных сосудов к другому иногда сложно классифицировать те, которые находятся в промежутке. В переходной области некоторые артериолы имеют стенки, характерные для артерий, и наоборот. Это артериальные сосуды смешанного типа»^[164].

Не сразу, а лишь десятилетие спустя, после того как Мандельброт ознакомил читающую публику со своими взглядами на физиологию, некоторые биологи-теоретики стали находить, что фрактальная организация лежит в основе устройства всего человеческого тела^[165]. Традиционное описание разветвлений в бронхах оказалось в корне неверным; фрактальное же их изображение вполне соответствовало реальной картине. Выяснилось, что и мочевыделительная система фрактальна по своей природе, равно как и желчные протоки в печени, а также сеть специальных мышечных волокон, которые проводят электрические импульсы к сократимым мышечным клеткам сердца^[166]. Последняя структура, известная кардиологам под названием сети Гиса – Пуркинье, вдохновила ученых на весьма важные исследования, в которых принимали участие как люди, имеющие здоровое сердце, так и страдающие определенными сердечными заболеваниями. Выяснилось, что некоторые сердечные недуги бывают вызваны несогласованной работой мышечных клеток левого и правого желудочков. Некоторые кардиологи, чей разум был открыт науке о хаосе, обнаружили, что спектральные характеристики сердечных сокращений, как и землетрясения и экономические феномены, подчиняются фрактальным законам^[167]. Это дало повод утверждать, что одним из ключей к постижению механизма синхронизации работы сердечных клеток является фрактальное строение сети Гиса – Пуркинье, лабиринта разветвляющихся путей, устроенных таким образом, что они воспроизводятся во все более мелких масштабах.

Но как же удалось живому организму эволюционировать в столь сложное построение? С точки зрения Мандельброта, сложным его можно признать лишь в контексте евклидовой геометрии, поскольку фракталы, разветвляющиеся структуры, до прозрачности просты и могут быть описаны с помощью небольшого объема информации. Возможно, несложные преобразования, которые формируют фигуры, придуманные Кохом, Пеано и Серпинским, заложены в генетическом коде человека. ДНК, конечно же, не может во всех подробностях определять строение бронхов, бронхиол, альвеол или пространственную структуру дыхательного «древа», однако она в состоянии описать повторяющийся процесс, в соответствии с которым они разветвляются и развиваются. Такие процессы соответствуют целям природы. Когда компания Дюпона стала производить для армии США синтетический заменитель гусиного пуха, выяснилось, что своей феноменальной способностью задерживать воздух натуральный пух обязан фрактальным узлам и ответвлениям ключевого белка в структуре пуха – кератина^[168]. Мандельброт естественным образом переключился с изучения «древа» дыхательного и сосудистого на исследование самых настоящих деревьев, которые ловят солнце и противостоят ветрам, деревьев с фрактальными ветвями и листьями. А биологи-теоретики начали подумывать о том, что фрактальное масштабирование – не просто широко распространенный, но универсальный принцип морфогенеза. Они утверждали, что проникновение в механизмы кодирования и воспроизводства фрактальных моделей станет настоящим вызовом традиционной биологии.

«Я начал искать такие феномены в „мусорных корзинах“ науки, поскольку подозревал, что наблюдаемое мной не являлось исключением, а, скорее всего, было широко распространено. Я посещал лекции и просматривал залежалую периодику, чаще всего почти без толку, однако местами набредал на весьма интригующие вещи. Так стал бы действовать естествоиспытатель, а не теоретик. Но мое рискованное предприятие полностью оправдало себя»^[169].

Собрав в одной книге все свои мысли о природе и истории математики, Мандельброт снискал необычайный успех в академической среде. Уже седовласый, он стал разъезжать с лекциями, появлялся перед публикой с неизменными лотками цветных слайдов. Он удостаивался премий и иных почестей, его имя приобрело громкую известность как в математических, так и в околонаучных кругах. Частично он был обязан такому успеху своим фрактальным картинам, которые по достоинству оценили знатоки прекрасного, а частично – тому, что многие тысячи любителей, вооружившись компьютерами, могли начать собственное исследование его вселенной. Но часть заслуги принадлежала ему самому, ведь он немало потрудился для того, чтобы имя его зазвучало громко. Мандельброт был включен в список, составленный историком науки из Гарварда Бернардом Коэном^[170]. В поисках ученых, объявивших свои собственные исследования революционными, тот годами вел летописи открытий и в итоге выбрал шестнадцать имен. Среди них были современник Бенджамина Франклина шотландец Роберт Саммер, чьи идеи об электричестве звучали довольно радикально, но оказались неверны, Жан-Поль Марат, известный ныне лишь тем, что сыграл зловещую роль в истории Великой французской революции, Юстус Либих, Уильям Гамильтон, Чарльз Дарвин, Рудольф Вирхов, Георг Кантор, Альберт Эйнштейн, Герман Минковский, Макс фон Лауэ, Альфред Вегенер (автор теории дрейфа материков), Артур Комптон, Джаст, Джеймс Уотсон (первооткрыватель структуры ДНК) и Бенуа Мандельброт.

Тем не менее для чистых математиков Мандельброт оставался изгоем, оспаривавшим академическую политику с неизменной резкостью. О нем, находившемся в самом зените славы, весьма нелестно отзывались коллеги, которым казалось, что Мандельброт одержим мыслью о значении собственной персоны и ее месте в истории. По их мнению, он не отдавал должное остальным ученым, что казалось оскорбительным. Несомненно, обладая в своем возрасте уже достаточным опытом в профессиональной «ереси», он оттачивал безупречность своей тактики точно так же, как и содержание научных статей. Иногда после выхода работ, которые включали идеи фрактальной геометрии, он звонил или писал их авторам, жалуясь на отсутствие ссылок на него или его труды.

Почитатели Мандельброта снисходительно относились к его самомнению, принимая во внимание сложности, с которыми он столкнулся, добиваясь признания своих исследований. «Конечно, он страдает до некоторой степени манией величия. Он невероятно самолюбив, но человеку, создающему настолько прекрасные вещи, такое прощается», – сказал один из поклонников Мандельброта^[171]. По мнению другого, «между ним и его коллегами-математиками выросла стена непонимания, и ему приходилось выпячивать свое эго лишь для того, чтобы выжить. Если бы он не был столь убежден, что его взгляд на мир верен, он никогда не достиг бы успеха»^[172].

Привычка отдавать должное и требовать этого в науке может стать наваждением. Мандельброт успевал делать и то и другое. В его книгах «я» так и лезет в глаза: «Я утверждаю…», «Я постиг и развил…», «Я выполнил…», «Я подтвердил…», «Я демонстрирую…», «Я создал…». «В моих путешествиях по неизведанным или заново освоенным землям я упорно двигался вперед, стараясь первым дать имена наиболее примечательным объектам».

Многие ученые не оценили подобного стиля. Их не смягчило даже то обстоятельство, что Мандельброт щедро рассыпал по тексту ссылки на предшественников, иногда, впрочем, весьма сомнительные. (Все его предтечи, язвили недруги, благополучно скончались.) Недоброжелатели считали, что это всего лишь способ поставить собственную персону во главу угла, чтобы на манер папы римского раздавать благословения направо и налево. Они контратаковали. Ученым стало все сложнее обходиться без термина «фрактал», однако, стремясь не поминать Мандельброта, они называли фрактальную размерность «размерностью Хаусдорфа – Безиковича»^[173][174]. И все, особенно математики, негодовали, наблюдая вторжения Мандельброта в различные области науки и его поспешные ретирады. Ведь он оставлял после себя лишь беспочвенные утверждения и догадки, взваливая бремя доказательства на плечи других.

Повод негодовать был. Если один ученый высказывает предположение, а другой доказывает его справедливость, кто сделал больше для развития науки? Стоит ли считать выдвижение гипотезы открытием? Или это лишь заявка? Математики и прежде задавались подобными вопросами, однако споры приобрели особый накал, когда появились компьютеры с их большими возможностями. Ученые, использующие вычислительные машины для постановки опытов, из теоретиков превратились в экспериментаторов, играющих по новым правилам. Они стали делать открытия, не утруждая себя доказательством теорем – основой всякой математической статьи.

Спектр вопросов, затрагиваемых в книге Мандельброта, отличался поразительной широтой и большим количеством исторических подробностей. Куда бы ни заводил его хаос, Мандельброт везде находил основание называть себя первооткрывателем. Неважно, что большинство читателей находили его ссылки весьма туманными, а порою даже бесполезными; им приходилось признать, что его неординарная интуиция дает толчок развитию тех областей, которые он никогда серьезно не изучал, – начиная от сейсмологии и заканчивая физиологией. Иногда подобное казалось трюкачеством, раздражало, и даже почитатели ученого порой ворчали: «Не может такого быть, чтобы Мандельброт придумал все, что придумали все остальные, причем раньше их!»^[175]

Вряд ли это имеет значение, ведь физиономия гения совсем не должна нести на себе отсвет святости, как лицо Эйнштейна. Как-никак Мандельброт десятилетиями должен был поступаться собственными идеями. Ему приходилось излагать свои мысли таким образом, чтобы они никого не задевали. Он вымарывал фантастически звучащие предисловия, лишь бы статью напечатали. После выхода в 1975 году первого издания его книги на французском ученый чувствовал, что его просто заставляют вести себя так, будто в ней не раскрывалось ничего пугающего и нового. Как раз поэтому он открыто назвал второе издание «манифестом и сборником примеров». Он приспосабливался к политике академической среды.

«Политика повлияла на самый стиль моего творчества, причем таким образом, о котором я в дальнейшем очень сожалел. Я использовал выражения вроде: „Естественно…“, „Весьма интересным наблюдением является то, что…“ На самом деле было все что угодно, кроме естественного. Все эти „интересные наблюдения“ представляли собой результат долгих и сложных исследований, поиска доказательств и самокритики. Я взял философский и несколько отстраненный тон, поскольку хотел быть принятым. Рискни я заикнуться, что предлагаю радикальный подход, читатели тут же потеряли бы всякий интерес. Позже некоторые из этих утверждений ко мне вернулись – уже другие люди говорят: „Естественно заметить, что…“ И это совсем не то, чего я ожидал»^[176].

Обращаясь к прошлому, Мандельброт с грустью вспоминал, что реакция представителей разных областей на его исследования была весьма предсказуемой. Первый вопрос всегда звучал так: «Кто вы и почему интересуетесь нашей дисциплиной?» Далее следовало: «Какое отношение рассказанное вами имеет к тому, что делаем мы? Почему вы не объясняете свои теории на основе уже известных нам фактов?» И наконец: «Вы уверены, что используете стандартную математику?» (Да, более чем уверен!) «А почему же тогда мы ничего о ней не знаем?» (По причине того, что она, будучи стандартной, весьма малопонятна.)

В этом отношении математика отличается от физики и иных прикладных наук. Раздел физики, однажды устарев и став малопродуктивным, обычно навсегда уходит в прошлое. Далее он может восприниматься как любопытный с точки зрения исторического развития и, возможно, послужить источником вдохновения для физика наших дней, однако исчерпавшая себя тема, как правило, «умирает» в силу весьма веских причин. Математика же, напротив, полна тропинок и окольных путей, которые в одни времена, казалось бы, ведут в никуда, но в другие становятся магистралью новой науки. Потенциал применения абстрактной идеи на практике предсказать невозможно. Поэтому математики оценивают чистую истину с эстетической точки зрения, пытаясь, по примеру художников, найти в ней некую красоту и изящество. Так и Мандельброт, с его любовью к древностям, извлек из небытия довольно многообещающую область математики, которую грозила погрести под собой пыль веков.

В самую последнюю очередь собеседники Мандельброта осведомлялись: «Какого мнения математики о вашей работе?» (Им все равно, поскольку она не обогащает математику. По правде говоря, они удивлены тем, что их идеи находят свое отражение в природе.)

В конце концов термином «фрактал» стали обозначать способ описания и анализа (в том числе количественного) множества иррегулярных и фрагментарных, зазубренных и разъединенных объектов – начиная от кристаллообразных кривых-снежинок и заканчивая прерывистой «пылью» галактик. Фрактальная кривая отражает организующую структуру, скрытую в невероятной сложности таких форм. Студенты в состоянии понять фракталы и даже «поиграть» с ними – ведь фракталы столь же первичны, сколь и элементарные формы Евклида. Простейшими программами для создания фрактальных изображений заинтересовались фанаты персональных компьютеров.

С наибольшим энтузиазмом идеи Мандельброта восприняли люди, которые занимались прикладной наукой – изучали нефть, горные породы или металлы, а особенно специалисты исследовательских центров корпораций. Например, к середине 1980-х годов довольно много людей в огромном научном подразделении корпорации Exxonтрудились над проблемами фракталов^[177]. В компании GeneralElectric фракталы были приняты на вооружение в качестве основного инструмента для изучения полимеров, а также для сугубо секретных изысканий в сфере безопасности ядерных реакторов. В Голливуде им нашли, пожалуй, самое эксцентричное применение: с помощью фракталов создавали невероятно реалистичные пейзажи, земные и инопланетные. Фракталы также помогали в работе над спецэффектами в кинофильмах.

Модели, открытые в начале 1970-х годов Робертом Мэем, Джеймсом Йорком и другими учеными, объекты, в которых весьма сложно отделить упорядоченное от хаотичного, содержали в себе неожиданную регулярность. Эта регулярность могла быть описана лишь на языке соотносимости больших и малых масштабов. Структуры, отворившие дверь в нелинейную динамику, оказались фрактальными. Новая геометрия вложила оригинальный инструментарий в руки практиков: физиков, химиков, сейсмологов, металлургов, физиологов и специалистов по теории вероятности. Все они свято уверовали, что геометрия Мандельброта воплощает в себе измерения самой природы, и пытались убедить в этом других.

Принявшие на вооружение новую науку сильно повлияли и на общепринятую математику, равно как и на традиционную физику. Однако сам Мандельброт так и не снискал искреннего уважения представителей этих дисциплин, которым, впрочем, все равно пришлось признать его успех. Один математик рассказывал друзьям, как проснулся ночью в холодном поту, дрожа всем телом^[178]. Ему привиделся жуткий кошмар. Словно бы он умер и услышал голос с небес – вне всякого сомнения, глас Бога: «Знаешь, в этом Мандельброте действительно что-то есть!»

Мысль о самоподобии, о том, что великое может быть вложено в малое, издавна греет человеческую душу – особенно души западных философов. По представлениям Лейбница, капля воды содержит в себе весь блистающий разноцветьем мир, включая и другие капли и живущие в них другие вселенные. «Увидеть мир в песчинке» – призывал Блейк, и некоторые ученые пытались следовать его завету. Первые исследователи семенной жидкости склонны были видеть в каждом сперматозоиде своего рода гомункулуса, то есть крошечного, но уже полностью сформировавшегося человечка.

Однако в качестве научного принципа самоподобие выглядело весьма бледно по довольно простой причине: оно расходилось с реальными фактами. Сперматозоиды вовсе не являются уменьшенной копией человека, будучи гораздо более интересными элементами, а процесс онтогенеза несравненно сложнее тривиального увеличения. Первоначальное представление о самоподобии как организующем принципе происходило из ограниченных знаний человека о масштабах. Как представить чересчур огромное и слишком крошечное, стремительное и замедленное, если не распространить на него уже известное?

Подобные представления бытовали до тех пор, пока человек не вооружился телескопами и микроскопами. Сделав первые открытия, ученые поняли, что каждое изменение масштаба обнаруживает новые феномены и новые типы поведения. Современные специалисты в области физики элементарных частиц не видели этому конца: каждый новый, более мощный ускоритель расширял поле зрения исследователей, делая доступными все более мелкие частицы и более краткие временные промежутки, и каждое такое расширение давало новую информацию.

На первый взгляд, идея постоянства при изменяющихся масштабах малопродуктивна, отчасти потому, что один из основных научных методов – редукционизм – предписывает разбирать предмет исследования на составляющие и изучать мельчайшие частицы. Специалисты, разъединяя объекты, рассматривают их элементы порознь. Намереваясь изучить взаимодействие субатомных частиц, они исследуют две или три, что уже довольно сложно. Однако самоподобие проявляется на гораздо более высоких уровнях сложного, когда речь заходит о том, чтобы посмотреть на целое.

Хотя именно Мандельброт весьма умело воспользовался идеей масштаба в своей геометрии, само возвращение этой идеи в науку в 1960-1970-х годах стало интеллектуальным течением, проявившимся одновременно во многих областях. Намек на самоподобие содержался в работе Лоренца: ученый интуитивно улавливал его в изяществе графиков, отображавших поведение системы уравнений. Он ощущал присутствие некой структуры, но в 1963 году увидеть ее не мог из-за несовершенства компьютеров. «Масштабирование» стало движением в физической науке, которое вело – пожалуй, даже более целенаправленно, нежели исследования Мандельброта, – к дисциплине, известной под названием «хаос». Даже в весьма отдаленных сферах ученые начинали думать на языке теорий, использовавших иерархии масштабов. Так, например, произошло в эволюционной биологии, развитие которой подводило к убеждению, что целостная теория должна описывать закономерности развития сразу и в генах, и в единичных организмах, и в видах, и в родах.

Можно, пожалуй, назвать парадоксом то, что феномены масштаба оценили по достоинству благодаря появлению в арсенале исследователей технических средств, ранее дискредитировавших идеи о самоподобии. Непостижимым образом к исходу XX века необычайно маленькие и невообразимо большие явления стали вполне обыденными, появились снимки огромных галактик и мельчайших атомов, отпала нужда по примеру Лейбница лишь мысленно представлять уголки Вселенной, которые можно увидеть в микроскоп или телескоп. Приборы сделали подобные изображения частью повседневной жизни. Учитывая, что разум всегда стремится искать аналогии, новые сравнения малого с большим были неизбежны – и некоторые из них оказывались продуктивными.

Нередко ученые, чье внимание привлекла фрактальная геометрия, ощущали некое эмоциональное сходство между новой математической эстетикой и веяниями в искусстве второй половины XX века, свободно черпая из культуры львиную долю энтузиазма, весьма полезного в исследованиях. Для Мандельброта миниатюрным воплощением евклидовой точности вне пределов математики стала архитектура баухаус. Столь же успешно ее мог бы олицетворять стиль живописи, лучшим образцом которого являются цветные квадраты Джозефа Альберса: скромные, аккуратно-линейные, редукционист – ско-геометрические. Слово «геометрические» здесь подразумевает то же, что обозначало многие тысячи лет. Здания, называемые геометрическими, имеют простые формы: сочетание прямых линий и окружностей, которые можно описать лишь несколькими числами. Мода на геометрическую архитектуру и живопись приходила и уходила, архитекторы уже не стремились возводить незатейливые небоскребы вроде Сигрем-билдинг в Нью-Йорке, а ведь не так давно это весьма популярное строение широко копировалось. Такую перемену вкусов Мандельброт и его последователи объясняли весьма тривиально: простые формы чужды человеку, не созвучны способу организации природы и образу восприятия мира людьми. Герт Эйленбергер, немецкий физик, занявшийся изучением нелинейности после исследований сверхпроводимости, как-то заметил: «Почему силуэт согнувшегося под напором штормового ветра обнаженного дерева на фоне мрачного зимнего неба воспринимается как прекрасный, а очертания современного многофункционального здания, несмотря на все усилия архитектора, вовсе не кажутся такими? Сдается мне, что ответ, пусть отчасти и умозрительный, диктуется новым взглядом на динамические системы. Наше чувство прекрасного „подпитывается“ гармоничным сочетанием упорядоченности и беспорядка, которое можно наблюдать в естественных явлениях: облаках, деревьях, горных цепях или кристаллах снежинок. Все такие контуры суть динамические процессы, застывшие в физических формах, и для них типично сочетание порядка и беспорядка»^[179]. Геометрической форме присущ масштаб, характерный для нее размер. По Мандельброту, истинное искусство не имеет определенного масштаба в том смысле, что оно содержит важные элементы разных размеров. Нью-йоркскому Сигрем-билдинг он противопоставлял архитектуру бозар, с ее скульптурами и гаргульями, картушами и карнизами с линией зубчиков. Лучший образчик этого стиля, здание парижской Гранд-опера, имеет не один определенный масштаб, а полный набор масштабов. С какого расстояния ни рассматривай это строение, всегда найдешь детали, привлекающие взгляд; по мере приближения композиция меняется и обнаруживаются новые элементы декора.

Но восхищаться гармоничной архитектурой – одно, а поражаться буйной дикости природы – совсем другое. Говоря на языке эстетики, фрактальная геометрия привнесла в науку по-современному острое и тонкое восприятие неприрученной, дикой природы. Некогда влажные тропические леса, пустыни, поросшие кустарником бесплодные пустоши воплощали собой целину, которую должно покорить общество. Желая насладиться цветением и ростом, люди любовались садами. Как писал Джон Фаулз, имея в виду Англию XVIII века, «эпоха неуправляемой и первобытной природы кажется весьма тяжелым временем и навевает мысли об агрессивной необузданности, отталкивающей и неумолимо напоминающей о грехопадении, изгнании человека из Эдема… И даже естественные науки остались, в сущности, враждебными дикой природе, рассматривая ее как нечто такое, что должно приручить, классифицировать, использовать и эксплуатировать»^[180]. Но к концу XX века культура стала иной, а вместе с ней изменилась и наука.

Итак, наука все же нашла применение малопонятным и причудливым формам вроде множества Кантора и кривой Коха. Первоначально они проходили в качестве доказательств в бракоразводном процессе на рубеже XIX–XX веков между математикой и физикой, чей альянс доминировал в науке со времен Ньютона. Математики, подобные Кантору и Коху, восхищались собственной самобытностью, они вообразили, что могут перехитрить природу, но на самом деле им не удалось даже близко сравняться с ней. Всеми почитаемое магистральное направление физики также отклонилось в сторону от повседневного опыта. Лишь позже, когда Стив Смейл вернул математику к изучению динамических систем, физик мог уверенно заявить: «Мы должны принести благодарность астрономам и математикам за то, что они передали нам, физикам, поле деятельности в гораздо лучшем состоянии, чем то, в котором мы оставили его семьдесят лет назад»^[181].

Невзирая на достижения Смейла и Мандельброта, именно физики в конце концов создали новую науку о хаосе. Мандельброт подарил ей особый язык и множество удивительных изображений природы. Как он сам признавался, его теории описывали лучше, чем объясняли. Он мог составить перечень фрагментов окружающего мира – береговых линий, паутины рек, древесной коры, галактик – и их фрактальных размерностей. Ученые использовали его идеи для составления прогнозов, однако физики стремились к большему – они хотели постичь первопричину^[182]. В природе существовали некие формы – невидимые, но внедренные в самую суть движения, и они все еще ждали своего часа.